Jede komplexe Mannigfaltigkeit ist auf nat rliche Weise eine differenzierbare >1annigfaltigkeit. Sei umgekehrt M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es erhebt sich die Frage, ob auf M eine komplexe Struktur existiert. Falls dies der Fall ist, besteht dasn chste Problern darin, eine bersicht ber "alle" komplexen Strukturen auf M zu gewinnen. Sei L(M): =Menge der quivalenzklassen von komplexen Strukturen auf M Menge der zu M diffeornorphen, komplexen Mannigfalt- keiten/biholornorphe quivalenz. Das Modulproblern, das seinen Ursprung in der Arbeit 67] von B. Riernann hat, besteht darin, auf L(M) eine "nat rliche" komplexe Struktur einzuf hren. Beispiel 1. Im Falle, da M = ist, besteht L(M) aus zwei 1 Punkten, falls M = F ist, besteht L(M) nur aus einem Punkt (Riernannscher Abbildungssatz) . Beispiel 2. Sei w E mit Im w > 0 und Gw: = {rnw+nlrn, nE }. Dann ist Tw: = /Gw ein Torus. Zwei Tori Tw' und T sind w genau dann biholornorph zueinander, wenn ganze Zahlen a, b, c, d mit ad - bc = 1 existieren, so da + b w' = aw cw + d ist. Jeder Torus hat also einen Repr sentanten T mit w wEr: = {aE i Im Ct > 0, /Real:5. 2' Iai .:: . 1} . VIII Identifiziert man entsprechende Punkte in r, so kann man zeiaen. da f r jeden Torus T gilt r(T) ""a: - Man vergleiche dazu 39], Example 2.14. Beispiel 3. Satz (Riemann, Teichm ller, Rauch, Ahlfors, Bers).