El objetivo del presente trabajo es el desarrollo completo y autocontenido sobre la clasificacion diferenciable de las superficies compactas, asunto de interes primario en el area de Topologia y con aplicaciones fundamentales y variadas en muchas areas de la Matematica. La clasificacion topologica de las superficies compactas contenidas en el espacio tridimensional fue dada por Riemann y Jordan. Ellos se basaban en resultados que parecian evidentes que luego ni ellos ni muchos matematicos podian demostrarlos con la matematica que habia hasta esos momentos. Tuvo que pasar mucho tiempo para que se llegara a tener la maquinaria necesaria para poder demostrar la clasificacion topologica y mayor tiempo aun para la clasificacion diferenciable. El presente trabajo da una clasificacion diferenciable de las superficies compactas (con borde o no) siguiendo metodos mas sofisticados dentro de la Topologia Diferencial. La Teoria de Morse que trata del estudio de curvas de nivel de funciones y la Teoria de ecuaciones diferenciales ordinarias sobre superficies nos proveen de las herramientas necesarias para la prueba de la clasificacion diferenciable de superficies compactas."