Les progrs raliss depuis quelques annes dans la thorie des fonctions analytiques ont fait ressortir combien sont toujours fcondes et efficaces les mthodes ingnieuses cres par Cauchy, parmi lesquelles il convient de citer en premier lieu le Calcul des rsidus. Il n'est donc pas sans intrt de revenir maintenant sur ce Calcul classique et d'tudier systmatiquement le rle qu'il joue dans la thorie des fonctions proprement dite. C'est ce que nous avons tch de faire dans ce petit Livre, en vue de faciliter dans une certaine mesure l'accs des parties modernes de l'Analyse. Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue les principes et thormes gnraux dont nous aurons  faire usage, en cherchant d'ailleurs  varier un peu ce sujet tant de fois expos. Le deuxime Chapitre contient diverses applications du Calcul des rsidus, dues pour la plupart  Cauchy. Cependant les limites restreintes imposes  cet Ouvrage ne nous ont permis de donner qu'une ide trs imparfaite du parti que Cauchy avait tir lui-mme de son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n'ont pu trouver place dans ce Chapitre, nous devons signaler surtout la mthode qu'il a employe pour obtenir des sries analogues  celle de Fourier, mthode dont on trouve une trs belle exposition au Tome II du Trait d'Analyse de M. Picard. Le troisime Chapitre est consacr aux formules sommatoires. Le Calcul des rsidus, appliqu systmatiquement, permet de rattacher toutes ces formules, avec leurs consquences multiples,  un mme principe simple et naturel, et contribue ainsi  mettre plus d'ordre et d'unit dans cette partie si intressante de l'Analyse. Comme application de ces formules, nous en dduisons, au quatrime Chapitre, une grande partie des expressions et des dveloppements trouvs,  diffrentes poques et par diffrentes mthodes, pour la fonction gamma et pour la fonction de Riemann. Ce Chapitre contient aussi quelques rsultats nouveaux relatifs  la srie